Keuzeopdracht: ANW Keuzeopdracht bij solar 7.3
Het is belangrijk te realiseren dat alle gebruikte gegevens komen uit de Binas tabel 33c op bladzijde 63. Ook is het belangrijk te weten dat de in dit verhaal gebruikte gegevens zijn afgerond, maar dat we in werkelijkheid met niet afgeronde waarden hebben gewerkt, hierdoor zou het erop kunnen lijken dat we reken- en/of afrondingsfouten hebben gemaakt.
We beginne met het uitrekenen hoe lang de zon nog zal leven. Dat doen we aan de hand van de hoeveelheid waterstof (H) en helium (He) atomen in de zon en de kern ervan. Andere atoomsoorten verwaarlozen we, omdat dat de berekening zou vermoeilijken.
Gegevens:
Verhouding van het aantal atomen in de zon op dit moment: H : He = 10----10,50 : 109,71
Dit rekenen we om naar een massaverhouding door de hoeveelheid atomen van elke soort te vermenigvuldigen met zijn gemiddelde atoommassa (dit komt uit Binas, tabel 39, pagina 80-83). We komen nu op:
Massaverhouding:
H : He = 1010,50 ∙ 1,00797 : 109,71 ∙ 4,0026
Alleen in de kern van de zon vindt kernfusie plaats, dus willen we de massa van de kern van de zon weten, in het boek staat dat die ongeveer 10% van de totale massa van de zon is; Gegeven uit Binas: massa van de zon: 1,989 ∙ 1030 kg; hieruit volgt: massa van de kern van de zon = 1,989 ∙ 1029 kg.
Nu kunnen wij aan de hand van dit gegeven en de massaverhouding tussen waterstof en helium de huidige hoeveelheid waterstof in de kern van de zon uitrekenen. Je moet gewoon de beide kanten van het breukteken van de massaverhouding vermenigvuldigen met een constante (C) totdat waterstof(noemen we mH) + helium(noemen we mHe) = massa kern van de zon.
Hieruit volgt:
C(mH + mHe) = 1,989 ∙ 1029
C = (1,989 ∙ 1029)/(mH + mHe)
mH en mHe weten we, zodoende hebben we 1 vergelijking met 1 onbekende, dus kunnen wij deze oplossen:
mH + mHe = 1010,50 ∙ 1,00797 + 109,71 ∙ 4,0026 = 5,240 ∙ 1010
C = (1,989 ∙ 1029)/( 5,240 ∙ 1010) = (1,989 ∙ 1019)/ 5,240 = 3,796 ∙ 1018
Aan de hand van deze constante kunnen we zowel de totale massa waterstof als de totale massa helium in de kern van de zon berekenen. Omdat de massa aan helium niet van belang is, berekenen we alleen de massa aan waterstof. Dit doen we heel eenvoudig door onze constante C te vermenigvuldigen met mH:
C * mH = 3,796 ∙ 1018 + 1010,50 ∙ 1,00797 = 1,210 ∙ 1029 kg
Om te berekenen hoe lang de zon nog zal leven, moeten we weten hoe veel massa waterstof de zon omzet in helium per tijdseenheid. De tijdseenheid zal tevens de eenheid van de uitkomst van de levensduur van de zon zijn. Een gegeven uit het boek is dat de zon 600 miljard kg waterstof per seconde omzet in helium. Nu weten we dat de levensduur (L) van de zon te berekenen door de massa waterstof te delen door de ?omzettingssnelheid?:
L = (1,210 ∙ 1029)/(600 ∙ 109) = (1,210 ∙ 1020)/600 = 2,016 ∙ 1017 seconden
Nu is het zaak dit om te rekenen naar miljarden jaren, gezien we zo?n groot aantal seconden hebben. Dit is eenvoudig te doen door de levensduur L in seconden te delen door het aantal seconden dat in 1 miljard jaar zit. Het aantal seconden in 1 miljard jaar is te berekenen door het aantal seconden in 1 minuut te vermenigvuldigen met het aantal minuten in uren, weer vermenigvuldigen met uren in dagen, dan vermenigvuldigen met het aantal dagen in 1 aards jaar (365,25) en vervolgens te vermenigvuldigen met 1 miljard. Dus:
L = (2,016 ∙ 1017)/(60 ∙ 60 ∙ 24 ∙ 365,25 ∙ 109) = (2,016 ∙ 1017)/(3,15576 ∙ 1016)
= 20,16 /3,15576 = 6,390 miljard jaar.
Nou is het dus ook interessant om te weten hoeveel energie de zon nog gaat uitstralen. Dit kunnen wij benaderen door te berekenen hoeveel massa waterstof niet wordt omgezet tot een heliumatoom. Per fusie van 4 waterstofatomen ontstaat 1 heliumatoom. Nu kunnen we de restmassa berekenen; dit is de massa die wordt omgezet in energie. Het is handig eerst te berekenen hoeveel fusies er plaatsvinden, dit doen we door het aantal waterstofatomen (dat te vinden is door de totale massa waterstofatomen te delen door de atomaire massa van waterstof, maar omdat we net het relatieve aantal atomen hebben vermenigvuldigt met de atomaire massa en vervolgens met de constante C kunnen we gewoon de constante C vermenigvuldigen met het relatieve aantal waterstofatomen) te delen door 4. Het aantal waterstofatomen A is dus:
A = C ∙ 1010,50 = 3,796 ∙ 1018 ∙ 1010,50 = 3,796 ∙ 1028,50 = 1,200 ∙ 1029 omzettingen.
Per omzetting wordt een bepaalde massa omgezet in energie, deze ?restmassa? vermenigvuldigen we met het aantal omzettingen om te berekenen wat de totale ?restmassa? is. De ?restmassa? berekenen we door van de massa van 4 waterstofatomen de massa van 1 heliumatoom af te trekken (er worden immers 4 waterstofatomen omgezet in 1 heliumatoom). Dus de restmassa mrest is:
mrest = 4 ∙ 1,00797 ? 4,0026 = 4,03916 ? 4,0026 = 0,03656 u
Nu berekenen we de totale restmassa mresttotaal door mrest te vermenigvuldigen met het aantal omzettingen A. Dus mresttotaal is:
mresttotaal = 0,03656 ∙ 1,200 ∙ 1029 = 4,388 ∙ 1027 kg
Deze mresttotaal kunnen we invullen in de bekende formule van Einstein: E = mc2 . E is de vrijgekomen energie in Joules, m de massa die wordt omgezet in energie ? hier dus mresttotaal ? en c is de lichtsnelheid in m/s (Binas tabel 7, pagina 17). Zo krijgen we als vrijgekomen energie van nu tot het einde van de zon:
E = 4,388 ∙ 1027 ∙ 2,9979245 ∙ 108 = 1,316 ∙ 1036 J = (1,316 ∙ 1036)/(1000 ∙ 3600)
= (1,316 ∙ 1030)/3,6 = 3,654 ∙ 1029 kWh
Nu restte ons nog 1 nijpende vraag: Hoeveel procent van de massa van de zon wordt daadwerkelijk omgezet in energie? Het antwoord is simpel te berekenen; we delen de massa die wordt omgezet in energie (mresttotaal!) door die van de zon en vermenigvuldigen dit met 100%. Het percentage P van de massa van de zon dat wordt omgezet in energie vanaf nu is dus:
P = (4,388 ∙ 1027)/(1,989 ∙ 1030) ∙ 100% = 4,388/1989 ∙ 100% = 0,002206 ∙ 100% = 0,2206%
Dit was onze keuzeopdracht over de zon,
We beginne met het uitrekenen hoe lang de zon nog zal leven. Dat doen we aan de hand van de hoeveelheid waterstof (H) en helium (He) atomen in de zon en de kern ervan. Andere atoomsoorten verwaarlozen we, omdat dat de berekening zou vermoeilijken.
Gegevens:
Verhouding van het aantal atomen in de zon op dit moment: H : He = 10----10,50 : 109,71
Dit rekenen we om naar een massaverhouding door de hoeveelheid atomen van elke soort te vermenigvuldigen met zijn gemiddelde atoommassa (dit komt uit Binas, tabel 39, pagina 80-83). We komen nu op:
Massaverhouding:
H : He = 1010,50 ∙ 1,00797 : 109,71 ∙ 4,0026
Alleen in de kern van de zon vindt kernfusie plaats, dus willen we de massa van de kern van de zon weten, in het boek staat dat die ongeveer 10% van de totale massa van de zon is; Gegeven uit Binas: massa van de zon: 1,989 ∙ 1030 kg; hieruit volgt: massa van de kern van de zon = 1,989 ∙ 1029 kg.
Nu kunnen wij aan de hand van dit gegeven en de massaverhouding tussen waterstof en helium de huidige hoeveelheid waterstof in de kern van de zon uitrekenen. Je moet gewoon de beide kanten van het breukteken van de massaverhouding vermenigvuldigen met een constante (C) totdat waterstof(noemen we mH) + helium(noemen we mHe) = massa kern van de zon.
Hieruit volgt:
C(mH + mHe) = 1,989 ∙ 1029
C = (1,989 ∙ 1029)/(mH + mHe)
mH en mHe weten we, zodoende hebben we 1 vergelijking met 1 onbekende, dus kunnen wij deze oplossen:
mH + mHe = 1010,50 ∙ 1,00797 + 109,71 ∙ 4,0026 = 5,240 ∙ 1010
C = (1,989 ∙ 1029)/( 5,240 ∙ 1010) = (1,989 ∙ 1019)/ 5,240 = 3,796 ∙ 1018
Aan de hand van deze constante kunnen we zowel de totale massa waterstof als de totale massa helium in de kern van de zon berekenen. Omdat de massa aan helium niet van belang is, berekenen we alleen de massa aan waterstof. Dit doen we heel eenvoudig door onze constante C te vermenigvuldigen met mH:
C * mH = 3,796 ∙ 1018 + 1010,50 ∙ 1,00797 = 1,210 ∙ 1029 kg
Om te berekenen hoe lang de zon nog zal leven, moeten we weten hoe veel massa waterstof de zon omzet in helium per tijdseenheid. De tijdseenheid zal tevens de eenheid van de uitkomst van de levensduur van de zon zijn. Een gegeven uit het boek is dat de zon 600 miljard kg waterstof per seconde omzet in helium. Nu weten we dat de levensduur (L) van de zon te berekenen door de massa waterstof te delen door de ?omzettingssnelheid?:
L = (1,210 ∙ 1029)/(600 ∙ 109) = (1,210 ∙ 1020)/600 = 2,016 ∙ 1017 seconden
Nu is het zaak dit om te rekenen naar miljarden jaren, gezien we zo?n groot aantal seconden hebben. Dit is eenvoudig te doen door de levensduur L in seconden te delen door het aantal seconden dat in 1 miljard jaar zit. Het aantal seconden in 1 miljard jaar is te berekenen door het aantal seconden in 1 minuut te vermenigvuldigen met het aantal minuten in uren, weer vermenigvuldigen met uren in dagen, dan vermenigvuldigen met het aantal dagen in 1 aards jaar (365,25) en vervolgens te vermenigvuldigen met 1 miljard. Dus:
L = (2,016 ∙ 1017)/(60 ∙ 60 ∙ 24 ∙ 365,25 ∙ 109) = (2,016 ∙ 1017)/(3,15576 ∙ 1016)
= 20,16 /3,15576 = 6,390 miljard jaar.
Nou is het dus ook interessant om te weten hoeveel energie de zon nog gaat uitstralen. Dit kunnen wij benaderen door te berekenen hoeveel massa waterstof niet wordt omgezet tot een heliumatoom. Per fusie van 4 waterstofatomen ontstaat 1 heliumatoom. Nu kunnen we de restmassa berekenen; dit is de massa die wordt omgezet in energie. Het is handig eerst te berekenen hoeveel fusies er plaatsvinden, dit doen we door het aantal waterstofatomen (dat te vinden is door de totale massa waterstofatomen te delen door de atomaire massa van waterstof, maar omdat we net het relatieve aantal atomen hebben vermenigvuldigt met de atomaire massa en vervolgens met de constante C kunnen we gewoon de constante C vermenigvuldigen met het relatieve aantal waterstofatomen) te delen door 4. Het aantal waterstofatomen A is dus:
A = C ∙ 1010,50 = 3,796 ∙ 1018 ∙ 1010,50 = 3,796 ∙ 1028,50 = 1,200 ∙ 1029 omzettingen.
Per omzetting wordt een bepaalde massa omgezet in energie, deze ?restmassa? vermenigvuldigen we met het aantal omzettingen om te berekenen wat de totale ?restmassa? is. De ?restmassa? berekenen we door van de massa van 4 waterstofatomen de massa van 1 heliumatoom af te trekken (er worden immers 4 waterstofatomen omgezet in 1 heliumatoom). Dus de restmassa mrest is:
mrest = 4 ∙ 1,00797 ? 4,0026 = 4,03916 ? 4,0026 = 0,03656 u
Nu berekenen we de totale restmassa mresttotaal door mrest te vermenigvuldigen met het aantal omzettingen A. Dus mresttotaal is:
mresttotaal = 0,03656 ∙ 1,200 ∙ 1029 = 4,388 ∙ 1027 kg
Deze mresttotaal kunnen we invullen in de bekende formule van Einstein: E = mc2 . E is de vrijgekomen energie in Joules, m de massa die wordt omgezet in energie ? hier dus mresttotaal ? en c is de lichtsnelheid in m/s (Binas tabel 7, pagina 17). Zo krijgen we als vrijgekomen energie van nu tot het einde van de zon:
E = 4,388 ∙ 1027 ∙ 2,9979245 ∙ 108 = 1,316 ∙ 1036 J = (1,316 ∙ 1036)/(1000 ∙ 3600)
= (1,316 ∙ 1030)/3,6 = 3,654 ∙ 1029 kWh
Nu restte ons nog 1 nijpende vraag: Hoeveel procent van de massa van de zon wordt daadwerkelijk omgezet in energie? Het antwoord is simpel te berekenen; we delen de massa die wordt omgezet in energie (mresttotaal!) door die van de zon en vermenigvuldigen dit met 100%. Het percentage P van de massa van de zon dat wordt omgezet in energie vanaf nu is dus:
P = (4,388 ∙ 1027)/(1,989 ∙ 1030) ∙ 100% = 4,388/1989 ∙ 100% = 0,002206 ∙ 100% = 0,2206%
Dit was onze keuzeopdracht over de zon,
Handige opties
- Meer boeken van:Jeff van Egmond en Lennart Schellingerhout